Question

关于高数微积分极限方面的问题

今天老师上课讲到了一个问题，没听清，叫去极限符号。好像是如果一个函数f(x)在趋近与0的时候极限为α，那么f(x)可以写成α+o(f(x))的形式，还用这个方法解了题。首先我不知道我听到的内容对不对，如果不对那这个问题应该是什么样的？如何去极限符号？如果我听的没错的话就应该会少一些限定条件吧否则让f(x)=2x^2+6x+6的话谁都能看出来这个式子不成立啊？到底是怎么回事呢？去极限符号这个方法一定是有的。跪求大神啊TʌT
啊我在参考书上找到这个的原话了。是limy=A等价于y=A+α，其中limα=0.关于这个我有几个问题。第一是limy=A为什么没有写y趋向于什么呢？第二是如果y=6x^2+6x+6，y→0，那么A=6，但是6x^2+6x+6也不等于6+α啊尤其是α还趋向于0？当x=1的时候不就等于18啊，还是说y=A+α中y也有什么限定呢？多谢。

Answer 1

你的意思应该是无穷小量，o(x)表示比x高阶的无穷小量。无穷小量也是一个极限，它的极限是0。.无穷小量的知识老师会讲，我不写了。
老师的意思是：x趋向某个数a(或无穷)时f(x)极限是a，则有f(x)=a+o,o是无穷小量。
其实这很容易理解，左边f(x)趋向一个极限，右边o是无穷小量也是个趋向0的极限，自然是相等的。
希望对你有帮助。

追问

其实我的意思是f(x)=α+o(f(x))没有对x有任何限制啊？如果fx=6x+6，当x→0时fx=6，那么α=6，依照公式是fx=α+o(f(x))，但是fx明明是无界的啊囧T_T谢谢回答啊
额我的问题有了新的补充麻烦给看一下呗跪谢啊T_T

追答

你的补充里的问题：

1. 实际上是省略了趋向于……，书上一般之前会讲“为简便起见，此处省略x趋向于a或正无穷”

2. 这里的极限、无穷小量都是在某一个点来说的。

   比如，如果x趋向于0时，极限为6，此时有x趋向于0时，f(x)=6+o

   而x趋向于1时，极限为18，此时有x趋向于1时，f(x)=18+o

   你不可以说x趋向于0时，f(x)=6+o  o为无穷小量，就说x趋向于1也满足f(x)=6+o，这不可以，因为6不是x趋向于1对应的极限值。

也就是说f(x)=α+o(f(x))是对x有限制的，x趋向于1一个值就有一个对应的极限a，x趋向不同值，是不同的。

Answer 2

应该是函数f(x)在趋近与x0的时候极限为α，那么f(x)可以写成α+o(f(x))的形式

o(f(x))指的是f（x）得高阶无穷小量，即o(f(x))除以f（x）得极限是0，这样得话把f(x)＝α+o(f(x))两边同除以f（x），有f(x)除以α极限为1，相当于x与x0足够接近是f（x）趋向于a

但注意，o（f（x））并不局限于f（x）的高阶无穷小量
因为，f（x）极限不是0，无穷小量任取
f（x）极限是0，则f（x）＝0+o，无穷小量也是任取的

追问

“但注意，o（f（x））并不局限于f（x）的高阶无穷小量 因为，f（x）极限不是0，无穷小量任取，f（x）极限是0，则f（x）＝0+o，无穷小量也是任取的”是什么意思呢
额我的问题有了新的补充麻烦给看一下呗跪谢啊T_T

追答

就是o（f（x））表示的是f（x）的高阶无穷小量，但是这里不一定是非要是f（x）的高阶无穷小量，任何无穷小量都可以

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另外，y=6x^2+6x+6：x→0，这时6x^2+6x就是无穷小量啊，无穷小量也是针对x趋向某一个值的性质，比如sinx，x趋向于0是无穷小量，x趋向于1就不是无穷小量啊