线性代数 若im σ=im τσ 则ker σρ=ker τσρ
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你好，不用证明τ是单射
首先任取a∈Kerσρ，即σρ(a)=0,有τσρ(a)=0,所以Kerσρ包含了Kerτσρ
然后，dim(Kerσ)=n-Imσ=n-Imτσ=dim(Kerτσ)
又任取b∈Kerσ,即σ(a)=0,有τσ(a)=0,所以Kerσ包含于Kerτσ,所以Kerσ=Kerτσ
所以任取c∈Kerτσρ,即τσρ(c)=0,则τσ(ρ(c))=0，即ρ(c)∈Kerτσ
又上面已得Kerσ=Kerτσ，所以ρ(c)∈Kerσ，即σρ(c)=0，所以c∈Kerσρ
因此Kerτσρ包含了Kerσρ
综上，ker σρ=ker τσρ
首先任取a∈Kerσρ，即σρ(a)=0,有τσρ(a)=0,所以Kerσρ包含了Kerτσρ
然后，dim(Kerσ)=n-Imσ=n-Imτσ=dim(Kerτσ)
又任取b∈Kerσ,即σ(a)=0,有τσ(a)=0,所以Kerσ包含于Kerτσ,所以Kerσ=Kerτσ
所以任取c∈Kerτσρ,即τσρ(c)=0,则τσ(ρ(c))=0，即ρ(c)∈Kerτσ
又上面已得Kerσ=Kerτσ，所以ρ(c)∈Kerσ，即σρ(c)=0，所以c∈Kerσρ
因此Kerτσρ包含了Kerσρ
综上，ker σρ=ker τσρ
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黄先生
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本回答由黄先生提供
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