Question

你好，向您请教个问题 1，若向量组线性相关，那么其中的任意一个向量都能用其余向量线性表示？

Answer 1

答：不是的
比如对于向量组a1,a2,a3……an，线性相关的话
也就是存在不全为0的一组系数k1,k2,k3……kn
使得k1*a1+k2*a2+……+kn*an=0
∴设aj为其中任意一个向量，则kj*aj=-k1*a1-k2*a2-……-k(j-1)*a(j-1)-k(j+1)*a(j+1)-……-kn*an
∴如果系数kj不为零的话aj可以有其余向量表示即aj=[-k1*a1-k2*a2-……-k(j-1)*a(j-1)-k(j+1)*a(j+1)-……-kn*an]/kj
而如果kj=0，由于0不能做分母，所以aj就不能有其余向量表示
∴若向量组线性相关，那么其中的任意一个向量都能用其余向量线性表示，这句话是错误的

追问

如果向量组中的任意一个向量都不能有其余的向量线性表示，那么这个向量组线性无关。（该命题正确），上述命题的逆否命题该怎么描述？

追答

如果一个向量组线性相关，则该向量组中存在可以由其余向量线性表示的向量。