Question

如图△ABC为等边三角形，直线a∥AB，D为直线BC上任一动点，将一60°角的顶点置于点D处，它的

一边始终经过点A，另一边与直线a交于点E．
（1）若D恰好在BC的中点上（如图1）求证：△ADE是等边三角形；
（2）若D为直线BC上任一点（如图2），其他条件不变，上述（1）的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵a∥AB，且△ABC为等边三角形，∴∠ACE=∠BAC=∠ABD=60°，AB=AC，∵BD=CD，∴AD⊥BC∵∠ADE=60°，∴∠EDC=30°，∴∠DOC=180°-∠EDC-∠ACB=90°，∴∠DEC=∠DOC-∠ACE=30°，∴∠EDC=∠DEC，∴EC=CD=DB，∴△ABD≌△ACE．∴AD=AE，且∠ADE=60°，∴△ADE是等边三角形；

 

（2）证明：在BD上截取CF，使DF=BC，∴BC-DC=DF-DC，即BD=CF，得到EC=FC，又∵CE∥AB，∴∠ECF=60°，∴△CEF为等边三角形，∠EDF+60°=∠BAD+60°，∴∠EDF=∠BAD，又∵DF=BC=AB，∴△ABD≌△DFE，∴AD=DE，即△ADE是等边三角形．

 

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