Question

数学老师您好！我想请教一个数列的求和问题： 高中时代碰到过1^2+2^2+2^2+4^2+...+

数学老师您好！我想请教一个数列的求和问题：
高中时代碰到过1^2+2^2+2^2+4^2+...+n^2前n项求和问题，后来虽然知道公式了，但到大学之后依然不会求
1^3+2^3+3^3+...+n^3前n项和或次数更高的这类题目，网上虽然有公式，但请问这种求和问题到底怎么算出来的？

Answer 1

这种题，要对n^2和n^3进行拆解变形，得出它们的通项公式，然后求解，如下图：

我回答得很详细很辛苦，楼主请给分吧

Answer 2

我教你一个比较实用的办法，如果是1+2+3……+n，那么前N项和是关于N的二次多项式；如果是1^2+2^2+……+n^2,那么前N项和是关于N的三次多项式；以此类推，如果每项是i的K次，那么前N项和就是关于N的（i+1）次多项式。
所以对于此类最好的办法就是待定系数法：比如1^2+2^2+……+n^2，设Sn=an3+bn2+cn+d,然后代入几个项就解出来了

Answer 3

N＝1时，1＝1（1＋1）（2×1＋1）/6＝1
N＝2时，1＋4＝2（2＋1）（2×2＋1）/6＝5
设N＝x时，公式成立，即1＋4＋9＋…＋x2＝x(x+1)(2x+1)/6
则当N＝x＋1时，
1＋4＋9＋…＋x2＋（x＋1）2＝x(x+1)(2x+1)/6＋（x＋1）2
＝（x＋1）[2（x2）＋x＋6（x＋1）]/6
＝（x＋1）[2（x2）＋7x＋6]/6
＝（x＋1）（2x＋3）（x＋2）/6
＝（x＋1）[（x＋1）＋1][2（x＋1）+1]/6
也满足公式
得 1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 为SN的数列式

Answer 4

所有的公式都是经过无数的数据验证和各种方法证明得出的

Answer 5

这个，貌似要先猜想再用数学归纳法证明