Question

图片中高中数学题第20题第2小问不懂，盼详细讲解分析,谢谢！

Answer 1

当x = 1时，取得极大值点，且f（1）=0，则要想x>1时，f（x）< 0，必须使极小值点在极大值点左边，即1/k < 1,解得k > 1,下图第一行错的

此时，当x = 1时，取得极小值点，且f（1）=0，要想x>1时，f（x）< 0，则不可能成立

综上所述k的范围（1，+∞）

Answer 2

已知函数f(x)=lnx-kx-(k-1)/x+(2k-1)(k>0)；若x≧1时f(x)≦0，求实数k的取值范围。
解：f(x)的定义域：x>0；
令f '(x)=(1/x)-k+(k-1)/x²=[-kx²+x+(k-1)]/x²
=-[kx²-x-(k-1)]/x²=-[kx+(k-1)](x-1)/x²
=-k[x-(1-k)/k](x-1)/x²=0
得驻点x₁=1，x₂=(1-k)/k。
要使x≧1时f(x)≦0，必须使x≧1时f(x)的最大值≦0.
①当(1-k)/k=1，即k=1/2时，不等式f '(x)=-(1/2)(x-1)²/x²≦0在f(x)的定义域(0，+∞)内恒成立，此时
f(x)=lnx-(1/2)x+1/(2x)在x>0内单调递减，那么当x≧1时f(x)的最大值=f(1)=0，故k=1/2满足题意。
②当0<(1-k)/k<1，即1/2<k<1时，x₁=1是极大点，此时在x≧1时f(x)的最大值=f(1)=-k-(k-1)+2k-1=0，
故1/2<k<1满足题意。
③当k≧1时，f '(x)=-k[x-(1-k)/k](x-1)/x²=-k[x+(k-1)/k](x-1)/x²≦0在x≧1时恒成立，故f(x)在[1，+∞)内
单调减，maxf(x)=f(1)=-k-(k-1)+2k-1=0，故k≧1满足题意。
综上所述，在x≧1的条件下，使f(x)≦0的k的取值范围为[1/2，+∞)。

Answer 3

解答：
先注意到f(1)=0
f'(x)=1/x-k+(k-1)/x²
=-[kx²-x-(k-1)]/x²
=-(x-1)[kx-(1-k)]/x²
=-[k(x-1)/x²]*[x-(1-k)/k]
∵ -[k(x-1)/x²]在x>1时，恒负。
（1）(1-k)/k≤1，即k≥1/2时，
f'(x)恒非负，
则f(x)在（1，+∞）上是减函数
∴ f(x)≤f(1)
即 f(x)≤0
满足题意
（2）(1-k)/k>1，即0<k<1/2
则当1<x<(1-k)/k时，f'(x)>0， f(x)递增
∴ f[(1-k)/k]>f(1)=0
不满足f(x)≤0恒成立

综上，x的取值范围是k≥1/2