Question

已知半径为R的圆内接三角形ABC中，2R（sin2A-sin2C）=（根号2的a-b)sinB成立，求证：角C=45度；

求三角形ABC的最大面积，并说明此时三角形的形状。

Answer 1

正弦定理 a/sinA=b.sinB=c/sinC=2R
∴sinA=a/2R, sinB=b/2R, sinC=c/2R
∴2R(a²/4R²-c²/4R²)=(√2a-b)b/2R
∴a²-c²=(√2a-b)b=√2ab-b²
∴a²+b²-c²=√2ab
余弦定理 cosC=(a²+b²-c²)/2ab=√2ab/2ab=√2/2
∴C=45°
s=1/2absin45=根2/4ab=根2(RsinA*RsinB)即求sinA*sinB<=sinAsinA+sinB*sinB最大值显然
A=B时最大 次时A=B=75等腰三角形
s=根2（2+根3）/4

Answer 2

∵ 2R(sin²A-sin²C)=（√2a-b)sinB,
又∵a/sinA=2R,b/sinB=2R,c/sinC=2R,
∴原式变成 a×sinA-c×sinC=√2a×sinB-b×sinB
∴a×sinA-c×sinC+b×sinB=√2a×sinB
式子两边同乘以2R，则原式变为
a²+b²-c²=√2ab
∴c²=a²+b²-√2ab
又∵c²=a²+b²-2ab×cosC,
∴-√2ab=-2ab×cosC
∴-√2=-2×cosC
∴cosC=√2/2
∴C=45°
利用基本不等式
a=b的时候,S最大

a=b代入a^2+b^2-c^2=根号ab
2a^2-根号2a^2=c^2
2-根号2=c^2/a^2

2-根号2=sin^2C/sin^2A
sin^2A=(2+根号2)/4

S=a^2sinC/2=(根号2+1)R^2/2
等腰三角形