Question

如图所示,以A为顶点的抛物线与y轴交于点B，已知A，B两点的坐标分别为（3，0），（4，0）

（1）求抛物线的解析式
（2）设M（m，n）是抛物线上的一点（m、n为正整数），且它位于对称轴的右侧。若雨M,B,O,A为定点的四边形四条边的长度是四个连续的正整数，求点M的坐标。
（3）在（2）的条件下，试问：对于抛物线对称轴上的任意一点P，PA²+Pb²+PM²＞28是否总成立？请说明理由。

Answer 1

B点在y轴上，坐标应该是（0,4）
(1)A点是顶点，位于对称轴上
所以 y = a(x-3)^2
将B点坐标代入可得： y = 4/9*(x-3)^2

(2) M点满足：n=4/9*(m-3)^2，m,n都是整数，所以m必然是3的倍数
OB=4，OA=3，M点位于对称轴右侧，所以必然MB>OB,MB>OA
所以四个连续的整数只有如下可能：
3，4，5，6
2，3，4，5
又：(m-3)^2+n^2=MA^2，m^2+(n-4)^2=MB^2
将以上可能代入此式可分析出只有一种可能：
m=6，n=4
OA=3,OB=4,MA=5,MB=6
所以点M坐标为（6，4）

(3)设p点坐标为：（3，y）
则PA²+Pb²+PM²
=y²+3²+(y-4)²+(3-6)²+(y-4)²
=3y²-16y+50
=3(y-8/3)²+28+2/3
>28

Answer 2

解：（1）设y=a（x-3）2，
把B（0，4）代入，
得a=4| 9 ，
∴y=4| 9 （x-3）2；

（2）解法一：
∵四边形OAMB的四边长是四个连续的正整数，其中有3、4，
∴可能的情况有三种：1、2、3、4；2、3、4、5；3、4、5、6，
∵M点位于对称轴右侧，且m，n为正整数，
∴m是大于或等于4的正整数，
∴MB≥4，
∵AO=3，OB=4，
∴MB只有两种可能，∴MB=5或MB=6，
当m=4时，n=4| 9 （4-3）2=4 9 （不是整数，舍去）；
当m=5时，n=16 |9 （不是整数，舍去）；
当m=6时，n=4，MB=6；
当m≥7时，MB＞6；
因此，只有一种可能，即当点M的坐标为（6，4）时，MB=6，MA=5，
四边形OAMB的四条边长分别为3、4、5、6．
解法二：
∵m，n为正整数，n=4| 9 （m-3）2，
∴（m-3）2应该是9的倍数，
∴m是3的倍数，
又∵m＞3，
∴m=6，9，12，
当m=6时，n=4，
此时，MA=5，MB=6，
∴当m≥9时，MB＞6，
∴四边形OAMB的四边长不能是四个连续的正整数，
∴点M的坐标只有一种可能（6，4）．

（3）设P（3，t），MB与对称轴交点为D，
则PA=|t|，PD=|4-t|，PM2=PB2=（4-t）2+9，
∴PA2+PB2+PM2=t2+2[（4-t）2+9]
=3t2-16t+50
=3（t-8 |3 ）2+86 3 ，
∴当t=8 |3 时，PA2+PB2+PM2有最小值86 |3 ；
∴PA2+PB2+PM2＞28总是成立．

Answer 3