Question

已知：BD、CE是△ABC的高，点F在BD上，BF=AC，点G在CE的延长线上，CG=AB。求证：AG⊥AF。

已知：BD、CE是△ABC的高，点F在BD上，BF=AC，点G在CE的延长线上，CG=AB。求证：AG⊥AF。

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质．分析：仔细分析题意，若能证明△ABF≌△GCA，则可得AG=AF．在△ABF和△GCA中，有BF=AC、CG=AB这两组边相等，这两组边的夹角是∠ABD和∠ACG，从已知条件中可推出∠ABD=∠ACG．在Rt△AGE中，
∠G+∠GAE=90°，而∠G=∠BAF，则可得出∠GAF=90°，即AG⊥AF．
解答：解：AG=AF，AG⊥AF．
∵BD、CE分别是△ABC的边AC，AB上的高．
∴∠ADB=∠AEC=90°
∴∠ABD=90°-∠BAD，∠ACG=90°-∠DAB，
∴∠ABD=∠ACG
在△ABF和△GCA中 BF=AC ∠ABD=∠ACG AB=CG ．
∴△ABF≌△GCA（SAS）
∴AG=AF
∠G=∠BAF
又∠G+∠GAE=90度．
∴∠BAF+∠GAE=90度．
∴∠GAF=90°
∴AG⊥AF．
点评：本题考查了全等三角形的判定和性质；要求学生利用全等三角形的判定条件及等量关系灵活解题，考查学生对几何知识的理解和掌握，运用所学知识，培养学生逻辑推理能力，范围较广．

Answer 2

解：AG=AF，AG⊥AF．
∵BD、CE分别是△ABC的边AC，AB上的高．
∴∠ADB=∠AEC=90°
∴∠ABD=90°-∠BAD，∠ACG=90°-∠DAB，
∴∠ABD=∠ACG
在△ABF和△GCA中 BF=AC ∠ABD=∠ACG AB=CG ．
∴△ABF≌△GCA（SAS）
∴AG=AF
∠G=∠BAF
又∠G+∠GAE=90度．
∴∠BAF+∠GAE=90度．
∴∠GAF=90°
∴AG⊥AF．