Question

高等数学 分子为什么不能用+1/-1等价无穷小计算？n次根号下1+x等价于1/nX，n有要求吗

Answer 1

等价无穷小代换用于乘除运算，不用于加减运算。
当x为无穷小时，(1+x)^(1/n) ~ 1+x/n， n为非零常数。

lim<x→0> [√(1+tanx)-√(1+sinx)]/[xln(1+x)-x^2]
= lim<x→0> [(1+tanx)-(1+sinx)]/{x[ln(1+x)-x][√(1+tanx)+√(1+sinx)]}

= (1/2)lim<x→0> (tanx-sinx)/{x[ln(1+x)-x]}
= (1/2)lim<x→0> tanx(1-cosx)/{x[ln(1+x)-x]}
= (1/2)lim<x→0> (1-cosx)/[ln(1+x)-x] (0/0)
= (1/2)lim<x→0> sinx/[1/(1+x)-1]
= (1/2)lim<x→0> (1-x)sinx/x = 1/2.

追问

你好，那请问这个题该如何计算。老师用的是-1等价无穷小。。。。

追答

何谓“-1等价无穷小计算”， 教材上有这个术语吗？

等价无穷小一般只能用于乘除运算中的因式代换，
不能随意用于和差运算！
(1) 两个同价而不等价的无穷小之差的每一项可进行等价无穷小代换，
例如当 x→0 时， tan5x-sin2x 等价于 5x-2x=3x，
但两个等价的无穷小之差的各项不能进行上述等价无穷小代换，
例如当 x→0 时，tanx-sinx不等价于 x-x=0，
这是因为两个等价的无穷小之差是 一个更高阶的无穷小（甚至为零），
而两个同价而不等价的无穷小之差仍与这两个无穷小 同阶.
(2) 两个同号无穷小之和的每一项可进行等价无穷小代换，
例如当 x→0 时，tanx+sin2x 等价于 5x+2x=7x。
如此说来很繁琐，所以无穷小代换一般不用于和差运算。

lim [(1-tanx)^(1/n)-(1+tanx^2)^(1/n)]/sin2x (0/0)
=lim [(-1/n)(secx)^2(1-tanx)^(1/n-1)
-(1/n)2x(secx^2)^2(1+tanx^2)^(1/n)]/(2cos2x)
= -1/(2n).

追问

谢谢您，-1无穷小表述确实不对，我的意思是分子第一项减1减去第二项减1，即利用的是等价无穷小来进行的计算。当然这个题完全可以用裸必达法则计算。但老师用等价无穷小做完这个之后，又留了

第一个题目。并让思考为什么这个分子不能用等价无穷小来计算。让我一度以为等价无穷小对n的大小还有要求。。。再次感谢，希望这次表达清楚了～