Question

如图，D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，且不与△ABC的顶点重合．

如图，D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，且不与△ABC的顶点重合．已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x2-14x+mn=0的两个根．
（Ⅰ）证明：C，B，D，E四点共圆；
（Ⅱ）若∠A=90°，且m=4，n=6，求C，B，D，E所在圆的半径．

Answer 1

第一个问题：
∵AD、AB是方程x^2－14x＋mn＝0的两根，∴由韦达定理，有：AD×AB＝mn。
∵AE＝m、AC＝n，∴AE×AC＝mn，∴AD×AB＝AE×AC，∴C、B、D、E共圆。

第二个问题：
∵m＝4、n＝6，∴mn＝24，∴方程x^2－14x＋mn＝0可改写成x^2－14x＋24＝0，
∴（x－2）（x－12）＝0，而AD、AB是方程（x－2）（x－12）＝0的根，且AD＜AB，
∴AD＝2、AB＝12。

令C、B、D、E所在圆的圆心为H，令BD、CE的中点分别是F、G。
显然有：HF⊥AF、HG⊥AG，又AG⊥AF，∴AFHG是矩形，∴HF＝AG。

∵AE＝4、AC＝6，∴CE＝AC－AE＝6－4＝2，∴EG＝1，∴AG＝5，∴HF＝5。
∵BD＝10，∴DF＝5。
由HF＝DF＝5、HF⊥DF，得：DH＝√2DF＝5√2。
∴C、B、D、E所在圆的半径为5√2。