Question

高中物理一道关于粒子运动的题

在某平面内有一半径为R的圆形区域，区域内有垂直于该平面的匀强磁场，圆外磁场范围足够大，已知两部分磁场方向相反且匀强磁场的磁感应强度均为B，方向如图所示，现在圆形边界上的A点有一个电荷量为q，质量为m的带正电粒子，以沿OA方向的速度经过A点，已知该粒子只受到磁场对它的作用力。求：

（1）若粒子在其与圆心O的连线旋转一周时恰好能回到A点，试求该点粒子速度v的可能值
（2）在粒子恰能回到A点的情况下，求该粒子回到A点所需的最短时间。
解：（1）粒子运动的半径为r
BqV=m
r= ①（2分）
如图，O1为粒子运动的第一段圆弧AB的圆心，
O2为粒子运动的第二段圆弧BC的圆心，
根据几何关系可知
tanθ= ②（2分）
∠AOB=∠BOC=2θ
如果粒子回到A点，则必有
n×2θ=2π，n取正整数 ③（2分）
由①②③可得
V= （2分）
考虑到θ为锐角，即0<θ<，根据③可得
n≥3 （2分）
故V=，（n=3，4，5......） （2分）
（2）粒子做圆周运动的周期
T= （2分）
因为粒子每次在圆形区域外运动的时间和圆形区域内运动的时间互补为一个周期T，所以粒子穿越圆形边界的次数越少，所花时间就越短，因此取n=3

代入到③可得
θ= （2分）
而粒子在圆形区域外运动的圆弧的圆心角为α
α=2π-2（-θ）=
故所求的粒子回到A点的最短运动时间
t=T+T= （2分

我想问的是，这个“粒子在其与圆心O的连线旋转”是什么意思？如果将粒子的未知固定在边界上，那么这个连线就是直线，在直线上怎么旋转啊？如果将该粒子看成运动的（本来就是运动的），则“其与O的连线”是无数条线啊，怎么能在"无数条线"上旋转呢？
第二个问题是，答案里面有很多不懂的，比如“如果粒子回到A点，则必有n*2α=2π”，这是为什么呢？
还有关于第二问的答案，我也不清楚。“粒子每次在圆形区域外运动的时间和圆形区域内运动的时间互补为一个周期，所以粒子穿越圆形边界的次数越少，所花的时间就越短”。首先，我不明白“时间互补为一个周期”是怎么来的。第二，我不明白，就算我知道了互补为一个周期，怎么又能推出“穿越的次数越少，所花的时间越短”？

Answer 1

(1)不是粒子旋转，而是粒子与O点的连线在旋转，好比水流星的绳子在旋转一样。

(2)粒子在圆外受洛伦兹力作用做圆周运动不到一个周期，又到达圆上某一位置，然后在圆内接着做圆周运动，不过不是同一个圆周运动，像个“之字拐”，接着来的。圆外部分和圆内部分轨道相切，在圆外时间长些，在圆内的时间短些，圆内圆外时间加起来等于一个圆周运动周期，这就是互补为一个周期的意思。每穿越两次，互补为一个周期。

(3)每穿越一次，粒子与O点的连线转过角度为2α。如果穿越n（n取整数）次恰好回到A点，则n·2α=2π

还是看看我画的图，多想想，明白了，就简单。

Answer 2

(1)“粒子在其与圆心O的连线旋转”我的理解是：
1、粒子以A为出发点，且V的速度沿OA的方向
2、运动轨迹以OA连线为对称线（如果把园O分成三等分（ABC),则轨迹是从A出，B入，C出，再由A入；若分成四等分，则A出，B入，C出，由A出……，你画图就清楚了）
（2）该题速度v,则圆周运动的半径r=mv/qB,即无论在园、内外其半径都一样（等于r=mv/qB）
设∠AOO1为θ，则tanθ=r/R,n为把园n个等分（即进出园n次），作图就不难得出n2θ=2π
其周期T=2πm/qB,即圆内外的周期都一样，从图角度可知其互补性。
这就不难得出，其进出圆O的次数越少，所用时间就越少了。
能理解吗？