Question

如图,在三角形ABC中,角ACB=90度,AC=BC,E为AC边的中点,过点A作AD垂直AB交BE的延长线于点D

如图,在△ABC中,∠ACB=90度,AC=BC,E为AC边的中点,过点A作AD⊥AB交BE的延长线于点D，CG平分角ACB交BD于点G，F为AB边上的一点，连接CF，且∠ACF=∠CBG，求证：（1）AF=CG （2）CF=2DE

Answer 1

（1）证明：∵△ABC中：∠ACB=90°，AC=BC
∴△ABC为等腰直角三角形
∴∠CAB=45°
∵CG平分∠ACB
∴∠BCG=1/2·∠ACB=45°
∴∠CAB=∠BCG
又∠ACF=∠CBG AC=CB
∴△ACF≌△CBG（ASA）
∴AF=CG
（2）延长CG，交AB于M
∵AC=BC 且CM平分∠ACB
∴AM=BM且CM⊥AB
∵AD⊥AB
∴CM∥AD
又M为AB的中点
∴GM为△ABD的中位线，即G为BD的中点
∴BG=DG
由闹信罩 △ACF≌△CBG 得：BG=CF
∴DG=CF
由CM∥AD得：∠DAE=∠GCE
又AE=DE
∠DEA=∠GEC（对等角相等）
∴△坦迅DEA≌△GCE（ASA）
∴DE=GE
即DG=2DE
又液闹DG=CF（已证明）
∴CF=2DE

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