Question

如图1，△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，

向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q．
（1）试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论．
（2）若连接EF交GA的延长线于H，由（1）中的结论你能判断并证明EH与FH的大小关系吗？
（3）图2中的△ABC与△AEF的面积相等吗？重点解答第三题

Answer 1

1）EP=FQ

证明：∵Rt等腰三角形ABE

∴AE=BA  ∠EAP+∠BAG=90°

∵AG⊥BC

∴∠ABG+∠BAG=90°

∴∠EAP=∠ABG

∵∠EPA=∠AGB=90°

∴△AEP≌△BAG

∴EP=AG

同理有FQ=AG

∴EP=FQ

2）EH=FH

证明：如图，由（1）知EP=FQ

又∵EP⊥AG  FQ⊥AG

∴EP∥FQ

∴四边形EPFQ是平行四边形

由于平行四边形的对角线互相平分

∴EH=FH

 

3）面积相等

证明：有S△ABC=1/2*BC*AG

而S△AEF=S△AEH+S△AFH

               =S△AEP-S△EPH+S△AFQ+S△FQH

不然证明△EPH≌△FQH

∴S△EHP=S△FQH

∴S△AEF=S△AEP+S△AFQ

                =1/2*AP*EP+1/2*AQ*FQ

由（1）知

△AEP≌△BAG   △AFQ≌△CAG

∴AP=BG  EP=AG  AQ=CG  FQ=AG

∴S△AEF=1/2*BG*AG+1/2*CG*AG

                =1/2*AG*(BG+CG)

                =1/2*AG*BC

所以S△ABC=S△AEF

 

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