Question

如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标是(4,0),并且OA=OC=4OB,动点P在过A,B,C三

如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标是(4,0),并且OA=OC=4OB,动点P在过A,B,C三点的抛物线上.
(1)抛物线的解析式
(2)是否存在点P,使得三角形ACP是以AC为直角边的直角三角形?若存在求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,说明理由;
(3)过动点P作PE垂直于y轴于点E交直线AC于点D,过点D作y轴的垂线.垂足为F,连接FE,当线段EF的长度最短时,求出点P的坐标.

Answer 1

解答：解：（1）由A（4，0），可知OA=4，
∵OA=OC=4OB，
∴OA=OC=4，OB=1，
∴C（0，4），B（-1，0）．
设抛物线的解析式是y=ax2+bx+c，
则
ab+c＝0
16a+4b+c＝0
c＝4
，
解得：
a＝1
b＝3
c＝4
，
则抛物线的解析式是：y=-x2+3x+4；

（2）存在．
第一种情况，当以C为直角顶点时，过点C作CP1⊥AC，交抛物线于点P1．过点P1作y轴的垂线，垂足是M．
∵∠ACP1=90°，
∴∠MCP1+∠ACO=90°．
∵∠ACO+∠OAC=90°，
∴∠MCP1=∠OAC．
∵OA=OC，
∴∠MCP1=∠OAC=45°，
∴∠MCP1=∠MP1C，
∴MC=MP1，
设P（m，-m2+3m+4），
则m=-m2+3m+4-4，
解得：m1=0（舍去），m2=2．
∴-m2+3m+4=6，
即P（2，6）．
第二种情况，当点A为直角顶点时，过A作AP2，AC交抛物线于点P2，过点P2作y轴的垂线，垂足是N，AP交y轴于点F．
∴P2N∥x轴，
由∠CAO=45°，
∴∠OAP=45°，
∴∠FP2N=45°，AO=OF．
∴P2N=NF，
设P2（n，-n2+3n+4），
则n=（-n2+3n+4）+4，
解得：n1=-2，n2=4（舍去），
∴-n2+3n+4=-6，
则P2的坐标是（-2，-6）．
综上所述，P的坐标是（2，6）或（-2，-6）；

（3）连接OD，由题意可知，四边形OFDE是矩形，则OD=EF．
根据垂线段最短，可得当OD⊥AC时，OD最短，即EF最短．
由（1）可知，在直角△AOC中，OC=OA=4，
则AC=
OC2+OA2
=4
2
，
根据等腰三角形的性质，D是AC的中点．
又∵DF∥OC，
∴DF=
1
2
OC=2，
∴点P的纵坐标是2．
则-x2+3x+1=2，
解得：x=
3±
17
2
，
∴当EF最短时，点P的坐标是：（
3+
17
2
，2）或（
3
17
2
，2）．
点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有待定系数法求抛物线的解析式，以及等腰三角形的性质．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．