Question

已知非零向量a,b满足|a|=4,|b|=3,（2a-3b）·（2a+b）=61

已知非零向量a,b满足|a|=4,|b|=3,（2a-3b）·（2a+b）=61 1.求向量a与向量b的夹角 2.求|a+b|与|a-b|.

Answer 1

解
|a|=4, |b|=3
∴a²=16, b²=9
61=(2a-3b)*(2a+b)
=4a²-4ab-3b²
=64-4ab-27
∴ab=-6
【1】
cos<a,b>
=(ab)/(|a|*|b|)
=(-6)/12=-1/2.
即cos<a,b>=-1/2
结合0º＜<a,b>＜180º可得：
<a,b>=120º
【2】
(a+b)²
=a²+2ab+b²
=16-12+9
=13
即(a+b)²=13
∴|a+b|=√13
【3】
（a-b)²
=a²-2ab+b²
=16+12+9
=37
∴|a-b|=√37

Answer 2

(2a－3b)*(2a＋b)=61
4|a|²－4a*b－3|b|²=61
64－4×4×3×cosw－27=61
cosw=－1/2
w=120°

|a＋b|²=|a|²＋2a*b＋|b|²=13，|a＋b|=√13
|a－b|²=|a|²－2a*b＋|b|²=37，|a－b|=√37