Question

已知圆x^2 y^2 x-6y m=0与直线x 2y-3=0相交于A，B两点，O为原点，且OA垂直OB，求实数m的值

Answer 1

∵A、B在直线x＋y－1＝0上，即在y＝1－x上，
∴可设A、B的坐标分别是（a，1－a），（b，1－b）。
∴OA的斜率＝（1－a）/a，OB的斜率＝（1－b）/b。

将y＝1－x代入给定的圆的方程中，得：x^2＋（1－x）^2＋x－6（1－x）＋m＝0，
∴2x^2－2x＋1＋x－6＋6x＋m＝0，∴2x^2＋5x＋m－5＝0。

显然，a、b是方程2x^2＋5x＋m－5＝0的根，由韦达定理，有：
a＋b＝－5/2，ab＝（m－5）/2。

∵OA⊥OB，∴［（1－a）/a］［（1－b）/b］＝－1，
∴［1－（a＋b）＋ab］/（ab）＝－1，∴［1－（a＋b）］/（ab）＋1＝－1，
［1－（－5/2）］/［（m－5）/2］＝－2，∴（2＋5）/（m－5）＝－2，
∴7＝－2（m－5）＝－2m＋10，∴2m＝10－7＝3，∴m＝3/2。
即：满足条件的m的值为3/2。