Question

已知不等式(x+y)(1/x+a/y)>=9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为

Answer 1

多项式展开，得1+(x/y)a+(y/x)+a>=9
整理，得(x/y)a+(y/x)>=8-a
有定理得(x/y)a+(y/x)>=2a^(1/2)
所以要满足题目结论，必须有2a^(1/2)>=8-a
左右平方，整理，得a^2-20a+64<=0
即(a-4)(a-16)<=0
所以4<=a<=16
所以min为4

Answer 2

根据柯西不等式
(x+y)(1/x+a/y)>=[√x*(1/√x)+√y*(√a/√y)]²
=(1+√a)²
要使(x+y)(1/x+a/y)>=9恒成立
则(1+√a)²>=3
a>=4
a的最小值为4，
a不应该有小于等于16的限制
显然当a>16时也有
(x+y)(1/x+a/y)>(x+y)(1/x+4/y)>=9

Answer 3

(x+y)(1/x+a/y) ≥9
(x+y)(y+ax)≥9xy
ax^2+(a-8)xy+y^2≥0
判别式≤0
(a-8)^2y^-4ay^2≤0
正实数x,y y>0
a^2-16a+64-4a≤0
(a-4)(a-16)≤0
4≤a≤16
正实数a的最小值为4