若f(x)在区间[0,1]上连续 在(0,1)上可微，且f(0)=1,f(1)=0.试证：在(0,1)内至少有一点x使f(x)+xf'(x)=0
2个回答
展开全部
令F(x)=xf(x)，则F'(x)=f(x)+xf'(x)，显然
F(0)=0，F(1)=f（1）=0，有Rolle中值定理得
存在c使得F'(c)=0，即
f(c)+cf'(c)=0。得证。
F(0)=0，F(1)=f（1）=0，有Rolle中值定理得
存在c使得F'(c)=0，即
f(c)+cf'(c)=0。得证。
追问
可以详细一点吗？
追答
这多详细啊，不需要再多写一句话了。
本回答由提问者推荐
已赞过
已踩过<
评论
收起
你对这个回答的评价是？
展开全部
f'(1)=[f(1)-f(0)]/(1-0)=-1
令F(x)=f(x)+xf'(x)
F(0)=f(0)+0=1
F(1)=f(1)+f'(1)=0-1=-1
因为f(x)在区间[0,1]上连续 在(0,1)上可微
所以F(x)在区间[0,1]上连续
由罗尔定理可知
在[0,1]上存在一点x1
使得F(x1)=0
即f(x)+xf'(x)=0
令F(x)=f(x)+xf'(x)
F(0)=f(0)+0=1
F(1)=f(1)+f'(1)=0-1=-1
因为f(x)在区间[0,1]上连续 在(0,1)上可微
所以F(x)在区间[0,1]上连续
由罗尔定理可知
在[0,1]上存在一点x1
使得F(x1)=0
即f(x)+xf'(x)=0
已赞过
已踩过<
评论
收起
你对这个回答的评价是？
推荐律师服务：
若未解决您的问题，请您详细描述您的问题，通过百度律临进行免费专业咨询
|
广告 您可能关注的内容 |
