Question

已知函数f(x)对任意实数a,b都有f(ab)=f(a)+f(b)成立。谁能告诉我为什么这么做。

1)求f(1)与f(0)的值
2)若f(2)=p，f(3)=q(p，q均为常数)，求f(36的值。
3)求证f(1/x)=-f(x)。

(1)
令a=b=1
f(1×1)=f(1)+f(1)
f(1)=f(1)+f(1)
所以f(1)=0
令a=b=0
f(0×0)=f(0)+f(0)
f(0)=f(0)+f(0)
所以f(0)=0

(2)
f(36)
=f(2×18)
=f(2)+f(18)
=p+f(2×9)
=p+f(2)+f(9)
=p+p+f(3×3)
=p+p+f(3)+f(3)
=p+p+q+q
=2(p+q)
(3)
让a=x,b=1/x,得0=f(1)=f(x)+f(1/x)
即f(1/x)=-f(x)
为什么这样做？为什么？为什么？为什么？？？！？！！？！？！？！？！？！为什么这样做！给我个理由！！

Answer 1

令a=b=1，
因为f(ab)=f(a)+f(b) 所以f(1)=f(1)+f(1) 所以f(1)=0
同理令a=b=0
因为f(ab)=f(a)+f(b) 所以f(0)=f(0)+f(0) 所以f(0)=0

f(36)=f(4x9)=f(4)+f(9)=f(2x2)+f(3x3)=f(2)+f(2)+f(3)+f(3)=2f(2)+2f(3)=2p+2q

因为f(ab)=f(a)+f(b)
所以令a=1/x，b=x
所以f((1/x)xx)=f(1/x)+f(x)
因为f(1)=0
所以f(1/x)+f(x)=0
即f(1/x)=-f(x)