Question

已知函数f(x)=x²+bx+2.若当x∈[-1,4]时，f（x)≥b+3恒成立，求f(x)

Answer 1

f(1)=1+b+2=b+3
即在x∈[-1,4]，f(x)≥f(1)恒成立
设g(x)=f(x)-f(1)=x²+bx-b-1 且x∈[-1,4]
题目转化为 函数y=g(x)在x∈[-1,4]上恒大于等于0
也就是抛物线的最小值等于0
y=g(x)=(x-b/2)²-b²/4-b-1的最小值只可能是-b²/4-b-1，或者在x=-1和x=4是取得
即-b²/4-b-1=0 或者 g(-1)=-2b=0 或者 g(4)=3b+15=0
b=-2 或者 b=0 或者 b=-5
验证b=-2成立
所以f(x)=x²-2x+2

Answer 2

f(x)=x²-2x+2 （b=-2）

用分类讨论对称轴的思想来看最小值的分布，并且与所给的条件作比较，最后得出b的值
f(x)=x²+bx+2=f(x)=（x+b/2)²+2-b²/4
此二次函数开口向上，对称轴为x=-b/2，顶点为（-b/2，2-b²/4）
1、若对称轴小于等于-1
-b/2≤-1 （即b≥2）时，
f(x)最小值为f（-1），
必须有f（-1）=1-b+2≥b+3，得到b≤0 （不符，舍弃）
2、若对称轴在区间[-1,4]内，（-8<b<2)
f(x)最小值为其顶点
即2-b²/4≥b+3
得到（b+2）²≤0，b=-2 （符合）
3、若对称轴大于等于4
即b≤-8时，
f（x）最小值为f（4）=16+4b+2≥b+3
得到b≥-5（不符，舍弃）

综上得到b=-2
f(x)=x²-2x+2