Question

一道出现在练习“极坐标与直角坐标的互化”中的一道高中数学题目。

已知A、B是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)上的两点，O是椭圆的中心，且OA⊥OB。求|OA|·|0B|的最大、最小值

Answer 1

解：先化为极坐标方程　（ρcosθ/a)^2+(ρsinθ/b)^2=1 　得
(1/ρ)＾2＝（cosθ/a)^2+(sinθ/b)^2
　　由题设　OA⊥OB　知极径 OA、OB的极角相差90°，
　　可得（1/|OA|·|0B|)^2=[(cosθ/a)^2+(sinθ/b)^2]*[(cosθ/a)^2+(sinθ/b)^2]
=(cosθ)^4/(ab)^2+(sinθ)^4/(ab)^2+(cosθsinθ)^2/a^4+(cosθsinθ)^2/b^4
=[(cosθ)^4+(sinθ)^4]/(ab)^2+[(1/a)^4+(1/b)^4](cosθsinθ)^2
=[1-2(cosθsinθ)^2]/(ab)^2+[(1/a)^4+(1/b)^4](cosθsinθ)^2
=(1/ab)^2-(sin2θ)^2/2(ab)^2+[(1/a)^4+(1/b)^4](sin2θ)^2/4
=(1/ab)^2+(1/4)*[(1/a)^4-2/(ab)^2+(1/b)^4]*(1-cos4θ)/2
注意到　－1≤cos4θ≤1　故可得　
　　(1/ab)^2≤（1/|OA|·|0B|)^2≤(1/ab)^2+(1/4)*[(1/a)^4-2/(ab)^2+(1/b)^4］
　　　　　　　　　　　　　＝(1/4)*[(1/a)^2+(1/b)^2］^2
　　最后得　　　ab≤|OA|·|0B|≤2(ab)^2/(a^2+b^2).
即　|OA|·|0B|的最大值和最小值分别为2(ab)^2/(a^2+b^2）和ab.

Answer 2

min：ab
max：（a^2+b^2）/2
思路，将方程化为极坐标参数方程：
x = a Cos[m];
y = b Sin[m];
A,B点极角相差90°，这样
|OA|^2·|0B|^2可以表示成为一个极角的表达式
(b^2 Cos[m]^2 + a^2 Sin[m]^2) (a^2 Cos[m]^2 + b^2 Sin[m]^2)
求导表达式得极值点：0,90°，-2ArcTan[1-根号2]，经判断可知其最大值、最小值分别在-2ArcTan[1-根号2]、0点处。