Question

已知f ‘（cosx）=ln(2-sinx^2),求∫（0~1）f ‘（x)dx.

求过程！

Answer 1

f '(cosx)=ln(2-sin²x)
=ln(2-1+cos²x)
=ln(1+cos²x)
因此f '(x)=ln(1+x²)

∫ [0→1] f '(x) dx
=∫ [0→1] ln(1+x²) dx
分部积分
=xln(1+x²)-∫ [0→1] [x/(1+x²)]*2x dx
=xln(1+x²)-2∫ [0→1] x²/(1+x²) dx
=xln(1+x²)-2∫ [0→1] (x²+1-1)/(1+x²) dx
=xln(1+x²)-2∫ [0→1] 1 dx+2∫ [0→1] 1/(1+x²) dx
=xln(1+x²)-2x+2arctanx | [0→1]
=ln2-2+π/2

Answer 2

f '（cosx）=ln(2-sinx^2)=ln(1+cosx^2),把cosx用x代替就得到f '（x)=ln(1+x^2)
∫f ‘（x)dx=∫（0~1）ln(1+x^2)dx=x ln(1+x^2)- 2∫ x^2/(1+x^2)dx=x ln(1+x^2)- 2∫ （1-1/(1+x^2)dx
=[x ln(1+x^2)- (2x-arctanx)] (0~1）

Answer 3

f '(cosx)=ln(2-sin²x)
=ln(2-1+cos²x)
=ln(1+cos²x)
因此f '(x)=ln(1+x²)