Question

函数f(x)=xlnx,设g(x)=f(x)-k(x-1),其中k∈R,求函数g(x)在区间[1，e]上的最大值

Answer 1

g(x)=xlnx-k(x-1),
g'(x)=1-k+lnx
令,g'(x)=0，得x=e^(k-1). 当x<e^(k-1). 时g'(x)<0,当x>e^(k-1).时g'(x)>0,
所以x=e^(k-1) 是g(x)取最小值的点，函数g(x)在区间[1，e]上的最大值在x=0或x=e点取得。
g(1)=0 g(e)=e-k(e-1)
当k<e/(e-1)时g(x)在区间[1，e]上的最大值为g(e)=e-k(e-1)
当k>e/(e-1)时g(x)在区间[1，e]上的最大值为g(1)=0