Question

用隐函数求导法则对x^y=y^x求导为什么会得出x^2=y^2

x^y=y^x
用隐函数求导法则
yx^(y-1)y'=xy^(x-1)y'
y'消掉后有
yx^(y-1)=xy^(x-1)
x^(y-2)=y^(x-2)
x^y/x^2=y^x=y^2
因为x^y=y^x
所以x^2=y^2
为什么结果会这样呢？
这种问题是必须取对数才能做吗？

Answer 1

简单分析一下，详情如图所示

Answer 2

　　这里，你的等式
　　　yx^(y-1)y' = xy^(x-1)y'
是错的。因为
　　　x^y = y^x
两边都是幂指函数，求导数有两种方法：
　　1）用对数求导法，即改写成
　　　ylnx = xlny，
再求导……；
　　2）改写成
　　　e^ylnx = e^xlny，
再求导……。

追问

幂指函数不能用一般的求导方法吗？隐函数求导也不适用吗？

追答

　　当然。
　　　　(x^a)' = ax^(a-1)
仅当 a 是常数时才成立，可是这里的x^y 中的 y=y(x)，明显的，你用错了。

Answer 3