Question

已知(√x-1/(2^4*√x)^n的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列。（1）证明展开式中没有常数项（2）

已知(√x-1/(2^4*√x)^n的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列。（1）证明展开式中没有常数项（2）求展开式中所有的有理项

Answer 1

(√x-1/(2^4*√x)^n.确定是2的4次方 ，而不是x开4次方吗？以我的经验，应该是后者
思路
如果是后者，那按二项式展开式，前三项的绝对值分别为1 ，n/2 , n(n-1)/8
由它们成等差数列可知 n= 1+ n(n-1)/8解得 n=1(舍去) 或者n=8
1、
n=8所以原数列的第r项为：C(r,8)( √x)^(8-r)*[-1/2 * x^(-1/4)]^r
= C(r,8)* (-1/2)^r *x^[4-(3r/4)]
令4-3r/4=0，解得r=16/3,不是整数，所以该展开式没有常数项
2、 有理项，即展开式中x的指数为整数，即4-(3r/4)为整数。从而r为4的倍数
故，r可取 0,4,8
当r=0时， C(r,8)* (-1/2)^r *x^[4-(3r/4)]=x^4
当r=4时， C(r,8)* (-1/2)^r *x^[4-(3r/4)]=7x/8
当r=8时， C(r,8)* (-1/2)^r *x^[4-(3r/4)]=1/(256x^2)
所以展开式中的有理项有三项，分别为x^4、7x/8、 1/(256x^2)