Question

①当a=9/2时，如果函数g（x）=f（x）-k仅有一个零点，求实数k的取值范围 ②当a=2时，

试比较f（x）与1的大小
③求证：ln（n+1）大于1/3+1/5+1/7+……1/（2n+1）n属于正整数

Answer 1

(1)a=9/2时
f(x)、g(x)定义域均为（0,+∞）
g'(x)=1/x-9/[2(x+1)²]=(2x²-5x+2)/ [2x(x+1)²] （x>0）
g'(x)
=0,得到
x=1/2或2
则g(x)在(0,1/2),(2,+∞)为增函数
在（1/2,2）为减函数
x→0,g(x)→-∞;
x→+∞,g(x)→+∞
函数g(x)=f(x)-k仅有一个零点
也就是g(1/2)=-ln2+3-k<0或 g(2)=ln2+3/2-k>0
即k的取值范围为(-∞,ln2+3/2 )u(-ln2+3,+∞)
(2)a=2时,记h(x)=f(x)-1 (x>0)
h'(x)=1/x-2/(x+1)²=(x²+1)/ (x+1)²>0对
x>0恒成立
即 h(x)在(0,+∞)为增函数
h(1)=f(1)-1=0
则0<x<1时， h(x)=f(x)-1<h(1)=0,f(x)<1
x>1 时， h(x)=f(x)-1>h(1)=0,f(x)>1
x=1时，f(1)=1
（3）证明：
记f(x)=ln(1+x)-x/(2+x),x>0
f'(x)=[(x+1)²+1]/[(x+1)(2+x)²]>0,f(x)↑
又f(x)可在x=0处连续则
f(x)>f(0)=0
即 ln(1+x)>x/(2+x)
取1/n(>0)替换x有
ln[(n+1)/n]>1/(2n+1)
将此不等式中的n依次从1取到n累加有
ln(2/1)+ln(3/2)+...+ln[(n+1)/n]>1/3+1/5+...+1/(2n+1)
即 ln(n+1)>1/3+1/5+...+1/(2n+1)
得证.