Question

设多项式p(x)=x^3+3x^2+ax+b与q(x)=x^4+x^3+ax^2+2x+b有公因式x+3,则p(x)与q(x)的最大公因式为?

Answer 1

设多项式p(x)=x³+3x²+ax+b与q(x)=x⁴+x³+ax²+2x+b有公因式x+3,则p(x)与q(x)的最大公因式为?
解：因为f(x)与g(x)有公因式x+1，因此比有f(-1)=0和g(-1)=0，于是：
f(-1)=-1+3-a+b=2-a+b=0................(1)
g(-1)=1-1+a-2+b=-2+a+b=0...........(2)
(1)+(2)得b=0，故a=2；于是：
f(x)=x³+3x²+2x=x(x²+3x+2)=x(x+1)(x+2)
g(x)=x⁴+x³+2x²+2x=x(x³+x²+2x+2)=x[x²(x+1)+2(x+1)]=x(x+1)(x²+2)
故f(x)与g(x)的最大公因式为(x²+x).