Question

如图，已知正△ABC的边长为a，D为AC边上的一个动点，延长AB至E使BE=CD，连接DE，交BC于点P,

（1） 求证：DP=PE
（2） 若D为AC的中点，求BP的长
（3） 若将正△ABC改为等腰△ABC，AB=AC,结论DP=PE是否仍成立？若成立，请写出证明过程；若不成立请说明理由

Answer 1

①在AB取一点F，令DF∥BC，因为△ABC为等边三角形，所以BF=DC=BE,又DF∥BC，所以△EBP∽△EFD,相似比为1/2,所以DP=PE
②若D为中点，则DF=1/2BC,而由第一问知,△EBP与△EFD的相似比为1/2,所以BP=1/4BC=1/4a
③改为等腰依然成立，证明过程同①

追问

相似三角形没学过，不用相似证得出来吗

Answer 2

（1）证明：过点D作DF∥AB，交BC于F．
∵△ABC为正三角形，
∴∠CDF=∠A=60°．
∴△CDF为正三角形．
∴DF=CD．
又BE=CD，
∴BE=DF．
又DF∥AB，
∴∠PEB=∠PDF．
∵在△DFP和△EBP中，
∠BPE=∠FPD，∠PEB=∠PDF，BE=FD，
∴△DFP≌△EBP．
∴DP=PE．
（2）解：由（1）得△DFP≌△EBP，可得FP=BP．
∵D为AC中点，DF∥AB，
∴BF=1 2 BC=1 2 a．
∴BP=1 2 BF=1 4 a．

追问

第三题怎么做

Answer 3

图呢？