Question

求关于三角形有几个解的3道例题和答案，谢谢啦

Answer 1

1. 在三角形ABC中   若角a=2倍根号3    角A=30度    则当b为何值时  三角形有一解？
   

解：由正弦定理：a/sin A=b/sin B

 (2√3) /sin 30°=b/sin B
(2√3) /(1/2)=b/sin B
(2√3) X2=b/sin B
b=4√3sin B
由于角A=30度，所以角B<180-30=150度
当b≤2√3时，角B≤30°有一解；
当b=4√3时，角B=90°有一解；
当2√3<b<4√3时，角30°<B<150°有两解；
当b>4√3时，无解。

2.在三角形ABC中，若b=2根号2，a=2，且三角形有解，则A的取值范围是

解：正弦定理：a/sinA=b/sinB
∴sinB=bsinA/a=2√2sinA/2=√2sinA
若三角形有解，则sinA值的要使sinB有意义
（当然，sinA,sinB是相互依存的）
∵0<sinB≤1
∴0<√2sinA≤1
∴0<sinA≤√2/2
∵a<b  ∴A<B   ∴ A是锐角
∴A的取值范围是0<A≤π/4

3.在三角形ABC中，若b=2根号2，a=2，且三角形有解，则A的取值范围是

解：由正弦定理，得 

a/sinA=b/sinB --> sinB=bsinA/a=b/8
三角形有唯一解相当于要求方程sinB=b/8有唯一解，
而0<B=180°-A-C=120°-C<120°，即0<B<120°
由于sinX=sin(180°-X) ，
所以，如果B=X是sinB=b/8的解的话，B=180°-X也可能是其的解。
因此，若能使B=X是解而180°-X不是解的话就能满足唯一性要求。
要(180°-X)不是解，就要使180°-X>=120°且0<X<120°，即0<X<=60°
另一方面，当X＝180°-X时,即X=90°时也满足唯一性要求。
综上，有唯一解B=X时，B＝90°或0<B<=60°
这时b＝8sinB=8 或 0<b=8sinB<=4√3