Question

如图，在梯形ABCD中，AB∥CD,∠A+∠B=90º,E,F分别为AB,CD的中点。试探索EF,AB,CD之间的关系

Answer 1

2EF=AB-CD

证明：

作FM//DA，交AB于M，FN//CB交AB于N

则∠FMN =∠A ,∠FNM =∠B 【平行，同位角相等】

∵∠A+∠B=90º

∴∠FMN+∠FNM=90º

∴∠MFN=90º，即⊿MFN是直角三角形

∵AB//CD

∴四边形AMFD和四边形BCFN都是平行四边形

∴AM=DF=CF=BN=½CD

∵AE=BE=½AB

∴AE-AM=BE-BN=½（AB-CD）

即ME=NE=½（AB-CD）

∴EF=½MN=ME=½（AB-CD）【斜边中线等于斜边一半】

即2EF=AB-CD

Answer 2

三角形ABG为直角三角形。如图的同颜色的角都相等。三角形GDC与三角形CBA'相似。

由勾股定理得：AB^2+CD^2=4*EF^2