Question

f(x)在(0,+∞)二阶可导,f(0)=0,f ''(x)<0,0<a<b,求证当a<x<b时,恒有bf(x)>xf(b)

Answer 1

考虑F(x)=f(x)/x，则F'(x)=【f'(x)x--f(x)】/x^2=【f'(x)--f(x)/x】/x
=【f'(x)--f'(c)】/x，其中f'(c)是对【f(x)--f(0)】/x用微分中值定理得到，
0<c<x，
由于f''(x)<0，因此f'(x)是递减函数，故f'(x)--f'(c)<0，
于是F'(x)<0，F(x)是递减函数，
故x<b时，有F(x)>F(b)，
化简即为结论。