Question

如图，二次函数y=－x+ax+b的图象与x轴交于A（－1/2，0）、B（2，0）两点

26.如图，二次函数y=－x+ax+b的图象与x轴交于A（－1/2，0）、B（2，0）两点，且与y轴交于点C。
求该抛物线的解析式，并判断△ABC的形状；
在X轴上放的抛物线上有一点D，且以A、C、D、B四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出D点的坐标；
在抛物线上存在点P，使得以A、C、B、P四点为顶点的四边形是直角梯形，求出P点的坐标
（要详细过程）

Answer 1

二次函数y=－x²+ax+b的图象与x轴交于A（－1/2，0）、B（2，0）两点
0=-1/4-1/2a+b
0=-4+2a+b
解得; a=3/2 b=1
该抛物线的解析式y=-x²+3/2x+1
当X=0时 Y=1
该抛物线与Y轴的交点C的坐标：(0, 1)

AB=2+1/2=5/2 AB²=25/4
AC²=1²+(1/2)²=5/4
BC²=1²+2²=5
因为AC²+BC²=5/4+5=25/4=AB²
所以△ABC为直角三角形

D点的坐标为 （3/2， 1）

设BC的解析式为： Y=KX+1
则把B点代入得： 0=2K+1 K=-1/2
因为A、C、B、P四点为顶点的四边形是直角梯形
又角ACB=90²
所以AP∥BC
设AP的解析式为Y=-1/2X+b
把A点坐标代入得 0=-1/2*（-1/2）+b b=-1/4
AP的解析式为Y=-1/2X-1/4

设P点的坐标为(X,Y)
则
Y=-1/2X-1/4
y=-x²+3/2x+1
-1/2X-1/4=-x²+3/2x+1
x²-2x-5/4=0
4x²-8x-5=0
(2x-5)(2x+1)=0
x1=5/2 x2=-1/2

当 x2=-1/2 刚好是A点
当x1=5/2 y=-3/2
所以 P点的坐标为　（5/2，-3/2）