Question

如图1，在等腰梯形ABCD中，AD‖BC，E是AB的中点，过点E作EF‖BC交CD于点F。AB=4，BC=6，∠B=60°

点P为线段EF上的一个动点，过点P作PM⊥EF交BC于点M，过M作MN‖AB交折线ADC于点N，连接PN，设EP=x
①当点N在线段AD上时，△PMN的形状是否发生改变？若不变，求出△PMN的周长，若改变，说明理由
②当点N在线段DC上时，是否存在点P，使△PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值，若不存在，说明理由

Answer 1

解：（Ⅰ）因为AF=BF，∠AFB=60°，△AFB为等边三角形．
又G为FB的中点，所以AG⊥FB．（2分）
在等腰梯形ABCD中，因为E、F分别是CD、AB的中点，
所以EF⊥AB．于是EF⊥AF，EF⊥BF，则EF⊥平面ABF，
所以AG⊥EF．（4分）
又EF与FB交于一点F，所以AG⊥平面BCEF．（5分）

（Ⅱ）解法一：连接CG，因为在等腰梯形ABCD中，
CD=2，AB=4，E、F分别是CD、AB中点，
所以EC=FG=BG=1，从而CG∥EF．
因为EF⊥面ABF，所以CG⊥面ABF．（7分）
过点G作GH⊥AB于H，连接CH，据三垂线定理有CH⊥AB，
所以∠CHG为二面角C-AB-F的平面角．（9分）
因为Rt△BHG中，BG=1，∠GBH=60°，所以GH= 3 2 ．（10分）
在Rt△CGB中，CG⊥BG，BG=1，BC= 2 ，所以CG=1．（11分）
在Rt△CGH中，tan∠CHG=CG GH =2 3 3 ，故二面角C-AB-F的正切值为2 3 3 ．（12分）
解法二：如图所示建立空间直角坐标系，由已知可得，
点B（2，0，0），A（1，0， 3 ），C（1，1，0）．（7分）
因为EF⊥平面ABF，所以 n1 =（0，1，0）为
平面ABF的一个法向量．（8分）
设 n2 =（x，y，z）为平面ABCD的法向量，
因为 AB =(1，0，- 3 )， CB =(1，-1，0)，
由 n2 ⊥ AB ， n2 ⊥ CB ，得 n2 • AB =0 n2 • CB =0 ，即 x- 3 z=0 x-y=0 ．
令x= 3 ，则y= 3 ，z=1，所以 n2 =（ 3 ， 3 ，1）．（10分）
所以cos＜ n1 ， n2 ＞= n1 • n2 | n1 || n2 | = 21 7 ．（11分）
从而tan＜ n1 ， n2 ＞=2 3 3 ，故二面角C-AB-F的正切值为2 3 3 ．（12分）