Question

已知函数f(x)=lnx-a(x-1)/(x+1) 1，若函数f(x)在0到正无穷为增函数，求a的取值范围。 2，设m,n为正实数且m

不等于n。求证：(m-n)/(lnm-lnn)小于(m+n)/2。

Answer 1

1) f'(X)=1/x-2a/(x+1)^2=[(x+1)^2-2ax]/[x(x+1)^2]
(x+1)^2-2ax>=0 在0到正无穷恒成立
x^2+2x+1-2ax>=0
Δ>0 a>2 or a<0 对称轴 x=a-1<0 f(0)>=0 a<1 得到 a<0
Δ<=0 0<=a<=2
综上 a<=2
2) 设m>n (m-n)/(lnm-lnn)<(m+n)/2
两边除于n (m/n-1)/ln(m/n)<n(m/n+1)/2
设t=m/n>1 (t-1)/lnt<(t+1)/2
lnt>0 t+1>0
两边乘lnt 再除(t+1) (t-1)/(t+1)<lnt/2
2(t-1)/(t+1)<lnt 只要证明这个成立就行了
根据上面的a<=2时 f(X)是增函数
所以a=2时 f(x)=lnx-2(x-1)/(x+1）
因为t>1 f(t)>f(1)=ln1-0=0 f(t)>0 所以 lnt-2(t-1)/(t+1)>0 lnt>2(t-1)/(t+1)
等式成立