Question

已知椭圆x^2/a^+y^2/b^=1的离心率为3分之根号6，短轴的一个端点到右焦点的距离为根号3，直线L与椭圆交于AB

）设直线l与椭圆C交于AB两点，坐标原点O到直线l的距离为根号3/2，求三角形AOB面积的最大值

Answer 1

e=√6/3=c/a 短轴端点到右焦点的距离是√(b^2+c^2)=a=√3 所以c=√2 b=1
那么椭圆为x^2/3+y^2=1
要求AOB面积最大，也就是|AB|的最大值
AB斜率不存在时为x=√3/2,|AB|=√3
设直线为y=kx+b
原点到直线距离是|b|/√(1+k^2)=√3/2 b^2=3/4(1+k^2)
联立：(1+3k^2)x^2+6kbx+3(b^2-1)=0
判别式>0
那么x1+x2=-6kb/(1+3k^2) x1x2=3(b^2-1)/(1+3k^2)
|AB|^2=(1+k^2)|x1-x2|^2=(1+k^2)[(x1+x2)^2-4x1x2]=12(3k^2-b^2+1)(1+k^2)/(1+3k^2)^2
=3(1+k^2)(9k^2+1)/(1+3k^2)^2
3(9k^2+1)(1+k^2)/(1+3k^2)^2=3(1+4/(9k^2+1/k^2+6)<=4
|AB|<=2，等号成立的条件9k^2=1/k^2
SAOB=1/2*√3/2*2=√3/2

追问

请问这步如何得到？谢谢！3(9k^2+1)(1+k^2)/(1+3k^2)^2=3(1+4/(9k^2+1/k^2+6)<=4

追答

9k^2+1/k^2>=2根号9=6
9k^2+1/k^2+6>=6+6=12
4/(9k^2+1/k^2+6)<=1/3
3(1+4/(9k^2+1/k^2+6)<=3*(1+1/3)=4