Question

已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N

已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N，AH⊥MN于点H．
（1）如图①，当∠MAN点A旋转到BM=DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：；
（2）如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；

Answer 1

1、通过证明△ABM≌△AHM（或△ABM≌△AHN）得出结论。 　　∵AM＝AN、AH⊥MN，　∴∠HAM＝∠MAN/2＝45°/2。 　　∵ABCD是正方形，　∴∠BAD＝90°，而∠MAN＝45°，　∴∠BAM＋∠DAN＝45°。 　　∵ABCD是正方形，　∴∠ABM＝∠ADN＝90°、AB＝AD，又AM＝AN，　∴△ABM≌△ADN， 　　∴∠BAM＝∠DAN，而∠BAM＋∠DAN＝45°，　∴∠BAM＝45°/2。 　　由AM＝AM、∠BAM＝∠HAM＝45°/2、∠ABM＝∠AHM＝90°，得：△ABM≌△AHM， 　　∴AB＝AH。

2、通过证明AM平分∠BMH，然后由角平分线性质得出结论。 　　∵ABCD是正方形，　∴∠BAD＝90°，而∠MAN＝45°，　∴∠BAM＋∠DAN＝45°。 　　∵ABCD是正方形，　∴∠ABM＝∠ADN＝90°、AB＝AD，又AM＝AN，　∴△ABM≌△ADN， 　　∴∠BAM＝∠DAN，而∠BAM＋∠DAN＝45°，　∴∠BAM＝45°/2。 　　∴∠AMB＝90°－45°/2。 　　∵∠MAN＝45°、AM＝AN，　∴∠AMH＝（180°－∠MAN）/2＝90°－45°/2。 　　∵∠AMB＝∠AMH＝90°－45°/2，AB⊥BM、AH⊥HM，　∴AB＝AH。