Question

在正方形ABCD的边AB上任取一点E,作EF⊥AB交BD于点F,取FD中点G，连接EG、CG。

（1）证明EG⊥CG且EG⊥CG
（2）将△BEF绕点B逆时针旋转90°，则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系？请直接写出你的猜想
（3）将△BEF绕点B逆时针旋转180°，则线段EG和CG又有怎样的数量关系和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明

Answer 1

解：（1）EG=CG，EG⊥CG．（2分）

（2）EG=CG，EG⊥CG．             （2分）

证明：延长FE交DC延长线于M，连MG．

∵∠AEM=90°，∠EBC=90°，∠BCM=90°，

∴四边形BEMC是矩形．

∴BE=CM，∠EMC=90°，

由图（3）可知，

∵BD平分∠ABC，∠ABC=90°，

∴∠EBF=45°，

又∵EF⊥AB，

∴△BEF为等腰直角三角形

∴BE=EF，∠F=45°．

∴EF=CM．

∵∠EMC=90°，FG=DG，

∴MG=

1   

2   

FD=FG．

∵BC=EM，BC=CD，

∴EM=CD．

∵EF=CM，

∴FM=DM，

又∵FG=DG，

∠CMG=

1   

2   

∠EMC=45°，

∴∠F=∠GMC．

∴△GFE≌△GMC．

∴EG=CG，∠FGE=∠MGC．          （2分）

∵∠FMC=90°，MF=MD，FG=DG，

∴MG⊥FD，

∴∠FGE+∠EGM=90°，

∴∠MGC+∠EGM=90°，

即∠EGC=90°，

∴EG⊥CG．                     （2分

Answer 2

解：（1）EG=CG，EG⊥CG． （2分）
（2）EG=CG，EG⊥CG． （2分）
证明：延长FE交DC延长线于M，连MG．
∵∠AEM=90°，∠EBC=90°，∠BCM=90°，
∴四边形BEMC是矩形．
∴BE=CM，∠EMC=90°，
由图（3）可知，△BEF为等腰直角三角形，∴BE=EF，
∴EF=CM．
∵∠EMC=90°，FG=DG，
∴MG=1 2 FD=FG．
∵BC=EM，BC=CD，
∴EM=CD．
∵EF=CM，
∴FM=DM，
∴∠F=45°．
又FG=DG，
∠CMG=1 2 ∠EMC=45°，
∴∠F=∠GMC．
∴△GFE≌△GMC．
∴EG=CG，∠FGE=∠MGC． （2分）
∵∠FMC=90°，MF=MD，FG=DG，
∴MG⊥FD，
∴∠FGE+∠EGM=90°，
∴∠MGC+∠EGM=90°，
即∠EGC=90°，
∴EG⊥CG． （2分）

Answer 3

解答：解：（1） EG=CG，EG⊥CG．（2）EG=CG，EG⊥CG．

证明：延长FE交DC延长线于M，连MG．∵∠AEM=90°，∠EBC=90°，∠BCM=90°，∴四边形BEMC是矩形．∴BE=CM，∠EMC=90°，又∵BE=EF，∴EF=CM．∵∠EMC=90°，FG=DG∴MG=FD=FG．

∵BC=EM，BC=CD，

∴EM=CD．

∵EF=CM，

∴FM=DM，

∴∠F=45°．又FG=DG，∠CMG=∠EMC=45°，∴∠F=∠GMC．∴△GFE≌△GMC∴EG=CG，∠FGE=∠MGC．∵∠FMC=90°，MF=MD，FG=DG，

∴MG⊥FD，

∴∠FGE+∠EGM=90°，

∴∠MGC+∠EGM=90°，

即∠EGC=90°，

∴EG⊥CG．

Answer 4

解：（1）EG=CG，EG⊥CG．（2分）
（2）EG=CG，EG⊥CG． （2分）
证明：延长FE交DC延长线于M，连MG．
∵∠AEM=90°，∠EBC=90°，∠BCM=90°，
∴四边形BEMC是矩形．
∴BE=CM，∠EMC=90°，
由图（3）可知，
∵BD平分∠ABC，∠ABC=90°，
∴∠EBF=45°，
又∵EF⊥AB，
∴△BEF为等腰直角三角形
∴BE=EF，
∴EF=CM．
∵∠EMC=90°，FG=DG，
∴MG=
1
2
FD=FG．
∵BC=EM，BC=CD，
∴EM=CD．
∵EF=CM，
∴FM=DM，
∴∠F=45°．
又∵FG=DG，
∠CMG=
1
2
∠EMC=45°，
∴∠F=∠GMC．
∴△GFE≌△GMC．
∴EG=CG，∠FGE=∠MGC． （2分）
∵∠FMC=90°，MF=MD，FG=DG，
∴MG⊥FD，
∴∠FGE+∠EGM=90°，
∴∠MGC+∠EGM=90°，
即∠EGC=90°，
∴EG⊥CG． （2分）