Question

一道数学证明题，过程尽量详细点，谢谢

Answer 1

取F（x）为f（t）从0到x积分得到的变上限积分，即F'(x)=f(x)。显然F(0)=F(π)=0。另一方面，有分部积分公式，0=f(x)cosx从0到π的积分=F(π)cosπ-F(0)cos0+F(x)sinx从0到π的积分=F(x)sinx从0到π的积分。若在(0,π）内恒为正或恒为负，都有F(x)sinx从0到π的积分≠0，矛盾。故存在a∈(0,π），使得F(a)sina=0，但sina≠0，故F(a)=0.再对F(x)在区间[0,a]和[a,π]上分别用罗尔定理即可。

Answer 2

我早已证明了此题，但用WORD格式上传效果不好，如果能告诉我Email地址，我发给你。
证明：已知函数f(x)在[0,л]上连续，且有 ∫_0^л▒〖f(x)dx=0〗 , ∫_0^л▒〖f(x)cosx dx=0〗
由积分中值定理得：∫_0^л▒〖f(x)dx=〗(л-0)f(ζ)=0 , 则: f(ζ)=0 。
由 ∫_0^л▒〖f(x)cosx dx=0〗 有：∫_0^л▒〖f(x)cosx dx=〗 ∫_0^(л/2)▒〖f(x)cosx dx〗+∫_(л/2)^л▒〖f(x)cosx dx〗=0
再由推广的积分第一中值定理得：
∫_0^(л/2)▒〖f(x)cosx dx〗 在[0,л/2] ,我们至少可以找到一点ζ1使得
∫_0^(л/2)▒〖f(x)cosx dx〗 =f(ζ1)∫_0^(л/2)▒〖cosx dx〗 ,同理在[л/2,л],我们也可以找到另一点
ζ2 ，且ζ1≠ζ2，使得：
∫_(л/2)^л▒〖f(x)cosx dx〗 =f(ζ2)∫_(л/2)^л▒〖cosx dx〗
代入前式： f(ζ1)∫_0^(л/2)▒〖cosx dx〗 + f(ζ2)∫_(л/2)^л▒〖cosx dx〗 =0
f(ζ1)(sinл/2 –sin0)+f(ζ2)(sinл-sinл/2)=0
f(ζ1)- f(ζ2)=0
f(ζ1)= f(ζ2)
综上所述：在[0,л],我们总可以找到至少不同的两点ζ1，ζ2使得
f(ζ1)= f(ζ2)
即命题得证。

Answer 3

不懂