Question

设集合A={(x,y)|y²-x-1=0},集合B={(x,y)|4x²+2x-2y+5=0},集

合C={(x,y)|y=kx+b}。是否存在k,b∈N，使得（A∪B）∩C=∅？若存在，请求出k,b的值;若不存在，请说明理由。

Answer 1

由题设可以得出要满足条件即C直线与A、B曲线不相交，所以将C方程先带入B方程得：
x^2+(1-k)x+5/2-b=0
不相交即dei'erta（那个三角形打不出来用DET代替了）<0
所以
DET＝(k^2-2k+1)-4(5/2-b)=k^2-2k-9+4b
假设正好相交，则DET=0也即b=(9+2k-k^2)
因为b∈N*
所以b=(9+2k-k^2)>0
所以(k-1)^2<10
由于k∈N*，所以k=1,2,3,4
再回代到DET里，由DET<0得出
1) k=1 b<2.5 b=1,2
2) k=2 b<9/4 b=1,2
3) k=3 b<1.5 b=1
4) k=4 b<1/4 无解

接下来把C方程带入方程A
得方程k^2*x^2+(2kb-1)x+b^2-1=0
DET'=4k^2-4kb+1<0
1) k=1
4-4b+1<0
b>5/4 结合上面的得出b=2
2)k=2
16-8b+1<0
b>17/8 结合上无解
3)k=3
36-12b+1<0
b>37/12 结合上无解

综上所述：k=1,b=2