Question

已知函数f（x）=x＾2+bx+c（b，c为常数），对任意α∈R，恒有f(sinα)≥0，且f（2+cosα）≤0

（1）求f（1）的值（2）求证：c≥3，若f（sinα）的最大值为8，求f（x）的表达式

Answer 1

j解：1).∵ -1 ≤ sinα ≤ 1 ，α∈R
∴ f(-1) ≥0 f(1) ≥0 ……①
又∵ 1 ≤ 2+cosα ≤ 3 ，α∈R
∴f(1) ≤ 0 f(3) ≤0 ……②
由①②可知，f(1) 要满足≥0的同时还必须≤0
∴f(1) =0
2)由(1)得：
f(1)=1+b+c=0
b+c=-1
f(3)=9+3b+c≤0
9+3(-1-c)+c≤0
c≥3
由f(sinα）≤8得：
sin²a+bsina+c≤8
sin²a-(1+c)sina+c≤8
当sina=-1时，1+1+c+c≤8
c≤3
∴c=3
则b=-4
∴表达式为：f(x)=x²-4x+3

Answer 2

1.当sina=1,可得f(1)>=0
当cosa=-1,可得f(1)<=0
所以f(1)=0
2.f(1)=b+c+1=0,f(3)=f(2+cos0)<=0即9+3b+c<=0
9+2b-1<=0,b<=-4,c=-1-b>=3
因为-b/2>=2..所以f在[-1,1]上递减，最大值在-1上取得。
f(-1)=1-b+c=8,结合1+b+c=0可得：b=-4,c=3.
所以f(x)=x^2-4x+3