Question

已知函数f(x)=(1+x)/(1

已知函数f(x)=(1+x)/(1-x)*e的-ax次方（1）设a>0，讨论y=f(x)的单调性 （2）若对任意x属于（0，1）恒有f（x）>1,求a的取值范围

Answer 1

（1）f(X)的定义域为（-∞，1）∪（1，+∞）
f(x)’=（ax^2+2-a)/(1-x)^2*e^-ax
①当a=2时， f(x)’=2x^2/(1-x)^2*e^-2x>0,为增函数
②当0<a<2时，f(x)’>0为增函数
③当a>2时，0<(a-2)/a<1,令f(x)’=0，得x1=-√(a-2)/a; x2=√(a-2)/a,经讨论可知
f(x)在(-∞,-√(a-2)/a),(√(a-2)/a,1),(1,+∞）为增函数
在（-√(a-2)/a，√(a-2)/a）为减函数
（2）①当0<a≤2时，由（1）知，对任意x∈(0,1),恒有f(x)>f(0)=1
②当a>2时，取x0=1/2√(a-2)/a,则由（1）知f(x)<f(0)=1
③当a≤0时，对任意x∈(0,1)时，恒有（1+x)/(1-x)>1,且e^-ax≥1
得f(x)=(1+x)/(1-x)*e-ax≥(1+x)/(1-x)>1
∴当且仅当a∈(-∞,2)时，对任意x∈(0,1)时，恒有f(x)>1

Answer 2

x)=(1+x)/(1-x)*e的-ax次方=-exp(-ax)+2*exp(-ax)/(1-x)，然后求导出f'(x)=exp(-ax)*（a+2x/（1-x）^2），因为exp(-ax）>0,则a+2x/（1-x）^2影响函数单调性，令a+2x/（1-x）^2=0求出根，然后根据a>0就可以判断单调性了。(2)要使x属于（0，1）恒有f（x）>1则讨论f'(x)=exp(-ax)*（a+2x/（1-x）^2）有三种情况，在（0，1）单调递增或单调递减或先减后增来做，这就可以用f'(x)来做出a的范围了。只提供了想法，自己做做回影响更深刻。