Question

高中数学，有关函数与导数的问题。请问下面这句话怎么理解？

由于f（x）的单调递减区间的长度是正整数，可知f（x）的导函数有两个不相等的实数根。 请问上面这句话这是为什么？为何能说明它有两个根？如何推理出来的？

注：原函数是一个三次函数，导函数是二次函数。

Answer 1

对于某一区间来说,f(x)单调递减,说明在这个区间内f'(x)<0. 由于导函数hi二次函数，且f(x)单调递减的区间的长度是正整数，那么就说明这个区间是有限的 也就说明 f'(x)是一个开口向上的二次函数（这样才能保证f'(x)<0的区间长度是有限的）. 于是我们现在知道了 导函数是一个开口向上的二次函数, 且有一段小于0的部分 那么就得知f'(x)的导函数有两个不相等的实根。

追问

且有一段小于0的部分，这句话是怎么得到的？

追答

因为题意中已经告诉你了"f(x)单调递减区间的长度是正整数" 这句话等价于 “f'(x)<0的区间长度是正整数” 也就是说 f'(x)存在小于0的部分 且<0的区间是有限的

Answer 2

由于f（x）的单调递减区间的长度是正整数，可能是说他的递减区间有限其他都是递增或者常数，因此导函数必然有两个不同解

Answer 3

区间两个端点恰好是两个拐点，也就导函数的两零点，即导函数对应方程的两个根。

Answer 4

有两个不相等的实数根