Question

二重积分的题目，求大神解答~~

Answer 1

(1) 用极坐标换元x = r·cos(θ), y = r·sin(θ), 其中0 ≤ r, 0 ≤ θ < 2π.
于是D(t) = {(r,θ) | 0 ≤ r ≤ t, 0 ≤ θ < 2π}.
F(t) = ∫∫{D(t)} f(x²+y²) dxdy = ∫{0,2π} ∫{0,t} r·f(r²) drdθ = 2π·∫{0,t} r·f(r²) dr.
由f(x)连续, x·f(x²)也连续, 故变限积分函数∫{0,t} r·f(r²) dr可导, 且导数为t·f(t²).
因此F'(t) = 2πt·f(t²).

(2) 1/n·F'(1/n) = 1/n·2π/n·f(1/n²) = 2π/n²·f(1/n²).
由f(x)在[0,1]连续, 其在[0,1]上有界, 故存在M > 0使|f(x)| < M对任意x ∈ [0,1].
于是|1/n·F'(1/n)| = 2π/n²·|f(1/n²)| < 2πM/n²·
由级数∑1/n²收敛, 根据比较判别法, 可知∑|1/n·F'(1/n)|收敛,
即∑1/n·F'(1/n)绝对收敛, 从而也是收敛的.

Answer 2

看了都头大.........