Question

线性代数求行列式

Answer 1

首先对n进行分类：
n=1，D1=x
n=2，D2=x^2-a0a1
n>2，由于打字问题，只考虑n=3，其余做法类似
只要对D3的第一列各元素同时-a0+a0
利用行列式的性质，将行列式拆成两个行列式：
|x a1 a2|
|a0 x a2|
|a0 a1 x|
=
|x-a0+a0 a1 a2|
|a0-a0+a0 x a2|
|a0-a0+a0 a1 x|
=
|x-a0 a1 a2| |a0 a1 a2|
|a0-a0 x a2| +|a0 x a2|
|a0-a0 a1 x| |a0 a1 x|
=
|x-a0 a1 a2| |1 a1 a2|
| 0 x a2| +|1 x a2| * a0
| 0 a1 x| |1 a1 x|
=
(x-a0)* | x a2| |1 0 0|
|a1 x | +|1 x-a1 0| * a0
|1 0 x-a2|
=(x-a0)*T2 + a0*(x-a1)(x-a2)
T2也利用同样的做法递归下去即可
当然，对于任意的n>2，上述做法都是适用的，自然问题就解决了
看到上述解答可以发现，由Dn的最后一列出发会更加好，直接会得到关于D的递归式
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追问

能说说答案是多少吗？

追答

稍微更正一下，
上面的分类应该是：
n=0，D0=x
n=1，D1=x^2-a0a1
n>1，有上面的递归
最终得到表达式：
Dn=[∏(0,n)(x-ai)]*{1+∑(0,n)[ai/(x-ai)]}
发现n=0，n=1皆可以归入上表达式
其中，∏(0,n)(x-ai)表示(x-ai)连乘，i从0变化至n；
∑(0,n)[ai/(x-ai)]表示ai/(x-ai)求和，i从0变化至n

有不懂欢迎追问

追问

你把你的答案 在n=1时带入看看， 不等于x^2-a0a1

追答

Dn=[∏(0,n)(x-ai)]*{1+∑(0,n)[ai/(x-ai)]}

n=1：
D(1)
=[∏(0,1)(x-ai)]*{1+∑(0,1)[ai/(x-ai)]}
=[(x-a0)(x-a1)] * [1+a0/(x-a0) + a1/(x-a1)]
=[(x-a0)(x-a1)] * [x/(x-a0) + a1/(x-a1)]
=x(x-a1) + a1(x-a0)
=x^2-a1x+a1x-a0a1
=x^2-a0a1
所以这是没有问题的~~~
有不懂欢迎追问