Question

在三角形ABC中，AB=AC，角BAC=120度，D为BC中点，DE垂直于AB，求证：EB=3EA

在三角形ABC中，AB=AC，角BAC=120度，D为BC中点，DE垂直于AB，求证：EB=3EA

Answer 1

在直角三角形AED中，角ADE=30度，角AED=90度，所以EA=1/2AD
在直角三角形BDA中，角ABD=30度，角ADB=90度，所以AD=1/2AB
所以EA=1/4AB EB=3/4AB
故EB=3EA
或者
连接AD, AD垂直于BC。 角EDA=30, DEA是直角三角形且DEA=90，有正切30度=EA/ED=3^0.5/3, 所以EA=ED*3^0.5/3。同理直角三角形BED中，正切30度=ED/EB=3^0.5/3, EB=ED*3^0.5。两边同时相除得到：EB/EA=3

Answer 2

EB＝3EA
解：连接AD
∵AB=AC
∴△ABC为等腰三角形
又∵D为BC的中点
∴AD为BC的中线
即：AD为∠BAC的平分线（等腰三角形三线合一）
∴∠EAD=120°/2=60°
又∵DE丄AB
∴∠DEA=90°
在Rt△EDA中：
∠EDA=90°-60°=30°
∴AD=2EA（在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半）
在△ABD中：
∠ADB=90°（三线合一）
∠BAD=60°（已证）
∴∠ABD=90°-60°=30°
∴BA=2AD=4EA
BA=BE+EA
即：BE+EA=4EA
移项：EB=3EA

Answer 3

连接AD, AD垂直于BC。 角EDA=30, DEA是直角三角形且DEA=90，有正切30度=EA/ED=3^0.5/3, 所以EA=ED*3^0.5/3。同理直角三角形BED中，正切30度=ED/EB=3^0.5/3, EB=ED*3^0.5。两边同时相除得到：EB/EA=3

Answer 4

在直角三角形AED中，角ADE=30度，角AED=90度，所以EA=1/2AD
在直角三角形BDA中，角ABD=30度，角ADB=90度，所以AD=1/2AB
所以EA=1/4AB EB=3/4AB
故EB=3EA

Answer 5

你自己画图：证明：连结AD，由题意可知AD垂直BC，因为角BAC=120度，AB=AC，所以角BAD=60度，角B=角C=30度，所以AD=AB/2，因为DE垂直AB，所以有角EDA=30度，所以AE=AD/2，所以AE=AB/4，所以EB=3EA