Question

一道关于高数中求立体体积的问题

题目如下图例18.6所示，我想问的是，不画图积分区域是如何确定出来的？还有一个问题是，求立体体积时，被积函数为何是1-√(x^2+y^2)-x而不是1-√(x^2+y^2)? 谢谢！

Answer 1

答案这么写，其实很唐突，
求这个体积，用三重积分的话，就看出来了
V=∫∫∫dV
=∫∫dxdy∫dz
那个z的范围是x到1-√x^2+y^2

所以
V=∫∫∫dV
=∫∫dxdy∫dz
=∫∫[1-√x^2+y^2 -x]dxdy

追问

三重积分求的不是立体的质量吗？二重积分才是求的体积，利用三重积分去求体积可行吗？

追答

你需要重新学一下重积分了。
三重积分，当积分函数是1的时候，不就是求体积吗？？
二重积分，当积分函数是1的时候，不就是求面积吗？？

满意请采纳，谢谢支持。不懂可追问

追问

嗯，你说的我理解了，还有一个问题，就是在XOY面上的二重积分，积分区域是怎么确定出来的？必须得画图吗？画不出图有别的方法么？

追答

积分区域，就是两个函数联立，消去z。得到关于x,y的方程，就是积分区域。
不过这个题目中，还要保证x>0

追问

这道题消去Z之后，得到的曲线是一条抛物线，只知道x是大于0的，y从-1到1是怎么来的不清楚，你能具体说下过程吗？问题多了点，一会儿采纳了给你追加，谢谢。

追答

不是, 你画出那条抛物线1-y^2=2x看一下，他与x=0围成的部分，是一个有限区域。
积分的时候，直接分成上下两部分即可，下半部分边界是y= -√1-2x，上半部分边界是
y=√1-2x，所以积分范围y是从 -√1-2x到 √1-2x，x是从0到1