Question

如图，三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，E为AC上一点，已知BC=BE+AE 求证：BE平分∠ABC

看来木有人知道
哎

Answer 1

取BC的中点为D，延长DA至F，使∠FBC＝80°，作∠ABC的平分线交FC于G，令BG交AC于H，延长CA交FB于M。
∵AB＝AC、BD＝CD，∴AD⊥BC，∴FD是BC的垂直平分线，∴FB＝FC，
∴∠FCB＝∠FBC=80°。

∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，又∠BAC＝100°，∴∠ABC＝∠ACB＝40°。
∵∠CBG＝∠ABG、∠ABC＝40°，∴∠CBG＝20°，
∴∠BGC＝180°－∠CBG－∠FCB＝180°－20°－80°＝80°，
∴∠FGB＝∠FCB＋∠CBG＝80°＋20°＝100°。

∵∠AHB＝∠CBG＋∠ACB＝20°＋40°＝60°、∠HBF＝∠FBC－∠CBG＝80°－20°＝60°，
∴∠AHB＝∠HBF，又∠BAH＝∠FGB＝100°，∴△BAH∽△FGB，
∴AH/BG＝BH/FB，∴BG/FB＝AH/BH。

∵∠BCG＝∠BGC＝80°，∴BG＝BC，∴BC/FB＝AH/BH。
∵∠FCB＝80°、∠ACB＝40°，∴∠FCM＝40°，∴∠FCM＝∠BCM，
∴由三角形内角平分线定理，有：BM/FM＝BC/FC，而FB＝FC，∴BM/FM＝BC/FB，
∴BC/FB＝（BC－BM）/（FB－FM）＝（BC－BM）/BM。

由BC/FB＝AH/BH、BC/FB＝（BC－BM）/BM，得：（BC－BM）/BM＝AH/BH。
∵∠MBH＝∠MHB＝60°，∴△MBH是等边三角形，∴BM＝BH＝MH。
∴由（BC－BM）/BM＝AH/BH，得：（BC－BH）/BH＝AH/BH，∴BC－BH＝AH，
∴BC＝AH＋BH，又BC＝AE＋BE，∴AH＋BH＝AE＋BE。

∵E、H都在线段AC上，∴H的位置只能是下列的情形之一：
①H在A、E之间；②E在A、H之间；③E、H重合。
一、若H在A、E之间，则AE＋BE＝AH＋HE＋BE＞AH＋BH，与AH＋BH＝AE＋BE矛盾，
　　∴H不能在A、E之间。
二、若E在A、H之间，则AH＋BH＝AE＋EH＋BH＞AE＋BE，与AH＋BH＝AE＋BE矛盾，
　　∴E不能在A、H之间。
∵E不能在A、H之间，H也不能在A、E之间，∴E、H重合，而BH平分∠ABC，∴BE平分∠ABC。

Answer 2

题目没有错，但我只会从BE是ABC的角平分线推导出BC=BE+AE，反过来就还没想到，的确有点困惑。。。

Answer 3

题出错了吧，确实得不到啊