Question

如图已知,在三角形ABC中,∠ABC=90°,AB=4,BC=2,将三角形ABC绕点B逆时针旋转90°

已知，在三角形ABC中，角ABC=90度，AB=4，BC=2，将三角形ABC绕点B逆时针旋转90度得到三角形DBF，延长DF交AC于E。(1)求证:DE垂直AC。(2)求证:DFXDE=DBXDC(3)求sin角EDC的值和AE，EF的长。

【求易懂完整过程】

Answer 1

证明：
1）
∵RT△ABC≌RT△ABF
∴∠A=∠D，∠AFE=∠DFB=∠C
∴∠A+∠C=∠A+∠AFE=90°
∴∠AEF=90°
∴DE⊥AC
2）
RT△DEC和RT△DBF中：
∠DEC=∠DBF=90°
∠D=∠D
∴RT△DEC∽RT△DBF（角角）
∴DC:DF=DE:DB
∴DF×DE=DB×DF
3）
RT△ABC中，AB=4，BC=2
根据勾股定理解得：AC=2√5
∴sin∠EDC=sin∠A=BC/AC=√5/5
∴sin∠EDC=√5/5
∵AB=4，BF=BC=2
∴AF=AB-BF=4-2=2
∴EF=AFsin∠A=2×(√5/5)=2√5/5
根据勾股定理解得：AF=4√5/5
综上所述：
sin∠EDC=√5/5，AE=4√5/5，EF=2√5/5