Question

已知抛物线y= 。 （1）试说明：无论m为何实数，该抛物线与x轴总有两个不同的交点；（2）如

已知抛物线y= 。 （1）试说明：无论m为何实数，该抛物线与x轴总有两个不同的交点；（2）如图，当该抛物线的对称轴为直线x=3时，抛物线的顶点为点C，直线y=x-1与抛物线交于A、B两点，并与它的对称轴交于点D；①抛物线上是否存在一点P使得四边形ACPD是正方形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；②平移直线CD，交直线AB于点M，交抛物线于点N，通过怎样的平移能使得C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形。

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Answer 1

解：（1） ， ∵不管m为何实数，总有（m-2） 2 ≥0， ∴ ＞0， ∴无论m为何实数，该抛物线与x轴总有两个不同的交点； （2）∵抛物线的对称轴为直线x=3， ∴m=3， 抛物线的解析式为 ，顶点C坐标为（3，-2）， 解方程组 ，解得 或 ，所以A的坐标为（1，0）、B的坐标为（7，6），∵x=3时y=x-1=3-1=2， ∴D的坐标为（3，2）， 设抛物线的对称轴与x轴的交点为E，则E的坐标为（3，0），所以AE=BE=3，DE=CE=2， ①假设抛物线上存在一点P使得四边形ACPD是正方形，则AP、CD互相垂直平分且相等，于是P与点B重合，但AP=6，CD=4，AP≠CD，故抛物线上不存在一点P使得四边形ACPD是正方形； ②（Ⅰ）设直线CD向右平移n个单位（n＞0）可使得C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形， 则直线CD的解析式为x=3+n，直线CD与直线y=x-1交于点M（3+n，2+n）， 又∵D的坐标为（3，2），C坐标为（3，-2）， ∴D通过向下平移4个单位得到C， ∵C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形， ∴四边形CDMN是平行四边形或四边形CDNM是平行四边形， （ⅰ）当四边形CDMN是平行四边形， ∴M向下平移4个单位得N， ∴N坐标为（3+n，n-2）， 又N在抛物线 上， ∴ ，解得 （不合题意，舍去）， ； （ⅱ）当四边形CDNM是平行四边形，∴M向上平移4个单位得N， ∴N坐标为（3+n，n+6）， 又N在抛物线 上，∴ ，解得 （不合题意，舍去）， ； （Ⅱ）设直线CD向左平移n个单位（n＞0）可使得C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形， 则直线CD的解析式为x=3-n，直线CD与直线y=x-1交于点M（3-n，2-n）， 又∵D的坐标为（3，2），C坐标为（3，-2）， ∴D通过向下平移4个单位得到C， ∵C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形， ∴四边形CDMN是平行四边形或四边形CDNM是平行四边形； （ⅰ）当四边形CDMN是平行四边形， ∴M向下平移4个单位得N， ∴N坐标为（3-n，-2-n）， 又N在抛物线 上， ∴ ，解得 （不合题意，舍去）， （不合题意，舍去）； （ⅱ）当四边形CDNM是平行四边形， ∴M向上平移4个单位得N， ∴N坐标为（3-n，6-n）， 又N在抛物线 上， ∴ ，解得 ， （不合题意，舍去）， 综上所述，直线CD向右平移2或（ ）个单位或向左平移（ ）个单位，可使得C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形。